冠亚体育娱乐数学天才之路

第一章
希波克拉底的求新月形面积定理
(公元前约440年)

第二章 欧几里得对毕达哥拉斯定理
(勾股定理)的证明
(公元前约300年)

论证数学的诞生

欧几里得的《原本》

  我们对人类远古时代数学发展的认识,在很大程度上依靠推测,是根据零星的考古资料、建筑遗迹和学者的猜测拼凑而成的。显然,随着公元前15000至10000年间农业的发明,人类不得不应付两个最基本的数学概念(至少是以初步形式):量和空间。量的概念,或“数”的概念是在人们数羊或分配粮食时产生的,经过历代学者几百年的推敲和发展,量的概念逐渐形成了算术,后来又发展成代数。同样,最初的农夫也需要认识空间关系,特别是就田地和牧场的面积而言,随着历史的发展,这种对空间的认识就逐渐形成了几何学。自从人类文明之初,数学的两大分支——算术和几何,就以一种原始的形式共存。

  从希波克拉底到欧几里得,其间经历了150年。在这150年间,希腊文明发展并臻于成熟,因柏拉图、亚里士多德、阿里斯托芬和修昔底德的著作而光大。甚至在伯罗奔尼撒战争的动乱中和在亚历山大大帝统治的希腊帝国全盛时期,希腊文明都在发展。到公元前300年时,希腊文化的发展已跨越地中海,并扩展到更遥远的世界。在西方,希腊统治至高无上。

  然而,这种共存并非永远和谐。数学史上一个持续的特征就是在算术与几何之间始终存在着紧张关系。有时,一方超过了另一方,有时,另一方又比这一方在逻辑上更占优势。而一个新发现,一种新观点,都可能会扭转局面。也许,有人会感到奇怪,数学竟然像美术、音乐或文学一样,在其漫长而辉煌的历史进程中,同样存在着激烈的竞争。

  在从公元前440年到公元前300年期间,许多伟人都曾为数学的发展作出过不朽的贡献,其中有柏拉图(公元前427—347年)和欧多克索斯(公元前约408—355年),虽然只有后者才是真正的数学家。

  我们在古埃及文明中,发现了数学发展的明显迹象。古埃及人研究的重点是数学的应用方面,以数学作为工具,促进贸易、农业和日益复杂的日常生活其他方面的发展。根据考古记载,在公元前2000年以前,埃及人已建立了原始数系,并具备了某些有关三角形和棱锥体等的几何概念。例如,据传说,古埃及建筑师用一种非常巧妙的方法确定直角。他们把12段同样长的绳子相互连成环状(如图1.1所示),把从B到C之间的五段绳子拉成直线,然后在A点将绳子拉紧,于是就形成了直角BAC。他们将这种构形放在地上,让工人们按照这个构形在金字塔、庙宇或其他建筑的拐角处建成标准的直角。

  柏拉图,雅典的伟大哲学家。我们之所以提到他,主要不是因为他对数学的创造,而是因为他对数学的热情和高度评价。柏拉图年轻时在雅典师从苏格拉底,我们对他那位值得尊敬的老师的了解,主要也由此而来。柏拉图曾漫游世界多年,认识了许多伟大的思想家,并形成了他自己的哲学思想体系。公元前387年,他返回他的出生地雅典,并在那里建立起学园。学园聚集了不少饱学之士来此献身于学习和研究。在柏拉图的引导下,希腊学园成为那个时代一流的思想中心。

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  在学园众多的学科中,没有一个学科能比数学更受重视。数学的美感和条理与秩序吸引了柏拉图,代表了他心目中未受单调日常生存需求污染的理想的抽象世界。柏拉图认为,数学是锻炼思维的最佳途径,其严密的逻辑推理要求人们极度专注、机敏和谨慎。据说,穿过拱形门楼,进入这一久负盛名的学园,首先映入眼帘的是一行大字:“不懂几何的男子请勿入内”。尽管这一警句带有明显的性别歧视,但却反映了一种观点,即只有那些首先证明自己在数学上成熟的人才有能力面对学园的智力挑战。可以说,柏拉图把几何学看作理想的入学要求,看作一种当时那个时代的学术能力测验。

 
 这种构图表明,古埃及人已对直角三角形的毕达哥拉斯勾股弦关系有所认识。他们似乎懂得,边长为3、4和5的三角形肯定会含有直角。当然,32+42=9+16=25=52,我们从中可以看到在所有数学关系中最重要的关系之一——勾股关系的早期曙光(见图1.2)。

  虽然现在人们很少把当初的数学发现归于柏拉图的名下,但希腊学园的确培养了许多颇有才华的数学家,其中一个无可争辩的伟大数学家就是尼多斯的欧多克索斯。欧多克索斯在学园创建初期就来到雅典,并直接聆听过柏拉图的演讲。欧多克索斯的贫困迫使他不得不居住在雅典的郊区比雷埃夫斯,每日往返于学园和比雷埃夫斯之间,成为最早的通勤者(虽然我们不能确切知道,他是否需要支付远郊车费)。在他后来的生涯中,他曾到过埃及,后来又返回他的出生地尼多斯。在这期间,他注意吸收新的科学发现,并不断扩充科学的疆界。欧多克索斯对天文学尤其感兴趣,他对月球和行星的运动做出了深入的解释,在16世纪哥白尼革命之前,其学说颇有影响。他从不接受对自然现象的天命的或神秘的解释,相反,他主张对自然现象进行观察,并作出理性的分析。因此,托马斯·希思爵士曾称道说:“如果当时有科学家的话,他称得起是其中一个。”

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  据认为,欧多克索斯对数学作出了两大贡献,其一是比例论,其二是穷竭法。毕达哥拉斯派曾因发现不可通约量而陷入绝境,而欧多克索斯的比例论则对走出这种绝境提供了逻辑依据。毕达哥拉斯派的绝境在有关相似三角形的几何定理中尤为明显,这些定理最初是根据一种假设论证的,即任何两个量都是可公度的。当这一假设被推翻后,几何学中一些最重要的定理也随之瓦解。这就是人们有时所谓的希腊几何的“逻辑耻辱”。也即,人们虽然相信这些定理是正确的,但他们却拿不出有力的证据来支持他们的观点。正是欧多克索斯发明的比例论为人们提供了这一长期寻觅的证据。他的理论自然使希腊数学界人士如释重负。我们如今可以在欧几里得的《原本》第五篇中找到欧多克索斯的理论。

  从技术角度说,古埃及人的这种认识还不是勾股定理本身。勾股定理申明,“如果△BAC是直角三角形,则a2=b2+c2”。而古埃及人的认识则是勾股定理的逆定理,“如果a2=b2+c2,则△BAC是直角三角形”。也就是说,关于命题“如果P,则Q”,对其相关命题“如果Q,则P”,我们称之为逆命题。我们将会看到,一个完全正确的命题,其逆命题可能是错误的,但著名的勾股定理则不然,不论正命题,还是逆命题,都是正确的。实际上,这些就是我们将在下一章讨论的“伟大定理”。

  欧多克索斯的另一个伟大贡献,即穷竭法,可以直接应用于确定更加复杂几何图形的面积和体积。他所采用的一般方法是,用一系列已知的基本图形不断逼近不规则图形,而每一次逼近,都比前一次更加近似于原图形。例如,我们可以认为,圆形是包含在一曲线里的图形,因而也是一种非常难于解出的平面图形。但是,如果我们在圆内作一个内接正方形,然后再把正方形的每条边一分为二,使之成为八边形,再把八边形的每条边平分,使之成为16边形,等等,依次进行,我们就可以得到一个非常近似于圆形面积的比较简单的多边形。用欧多克索斯的话说,这个多边形从内部“穷竭”了圆。

  虽然古埃及人对3-4-5直角三角形的几何性质有所认识,但他们是否具有更广义的理解,例如,对于同样含有直角的5-12-13三角形或65-72-97三角形(因为在这两个三角形中,都是
a2=b2+c2),则还是个疑问。更重要的是,没有迹象表明,古埃及人是如何证明这些关系的。也许,他们掌握某些逻辑论证,以支持他们对3-4-5三角形的观察;也许,他们仅仅是靠反复试验。但无论如何,在埃及的文字记载中都没有发现通过严密的逻辑推理,证明一般数学规律的迹象。

  实际上,这个过程就是阿基米德确定圆面积的过程,我们将在第四章看到。阿基米德不仅将这一基本逻辑理论归功于欧多克索斯,而且还认为他用穷竭法证明了“任何锥体的体积都等于与之同底同高柱体体积的三分之一”,这决不是一个无足轻重的定理。熟悉高等数学的读者都会承认,穷竭法是现代“极限”概念的几何先驱,同时也是微积分的中心。欧多克索斯的贡献意义十分深远,人们一般认为他是仅次于最伟大的数学家阿基米德本人的古希腊卓越数学家。

  下面的古埃及数学例子也许可以给人以启发:这是他们发现截棱四棱锥体积的方法——即一个用平行于底面的平面截去顶部的四棱锥体(见图1.3)。这种几何体如今叫做正四棱台。发现这种棱台体积的方法在公元前1850年的所谓“莫斯科纸莎草书”中有所记载:

  公元前四世纪的最后30年,马其顿国王亚历山大大帝即位,并出发征服世界。公元前332年,亚历山大大帝征服埃及,随之在尼罗河口建亚历山大城。这座城市发展极为迅速,据说在其后30年间,人口已达50万。而更为重要的是,在这座城市中建立了宏大的亚历山大图书馆,这座图书馆很快便取代了希腊学园,成为世界的学术重镇。亚历山大图书馆藏有600,000多部纸莎草纸文稿,其藏书之丰超过了当时世界上的任何一个图书馆。的确,在整个希腊和罗马统治时期,亚历山大城始终是地中海地区的思想中心,直到公元641年被阿拉伯人摧毁。

  “如果你被告知:一个截棱棱锥体,垂直高为6,下底边长为4,上底边长为2。则你取4的平方,得结果为16。你将4加倍,得结果
8。你取2的平方,得结果4。你将16、8和4相加,得28。你取6的三分之一,得结果2。你取28的2倍得56。看,是56。你会发现答案是正确的。”

  公元前约300年,在亚历山大城吸引的众多学者中,有一位名叫欧几里得。他来到亚历山大城,创办了一所数学学校。我们对欧几里得的生平和他到达非洲海岸前后的情况都知之甚少,但他似乎曾在希腊学园接受过柏拉图弟子的训导。不管情况是怎样的,欧几里得的影响十分深远,实际上,所有后来的希腊数学家都或多或少地与亚历山大学校有过某种联系。

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  欧几里得在数学史上声名显赫,得益于他编纂的《原本》。这部著作对西方思想有着深远的影响,人们一个世纪又一个世纪地研究、分析和编辑此书,直至现代。据说在西方文明的全部书籍中,只有《圣经》才能够与欧几里得的《原本》比美。

  这段描述十分精彩,确实得出了棱台体积的正确答案。但是,请注意,它的计算方法却不是普遍适用的。这种方法没有导出一个一般公式,以适用于其他尺寸的棱台。古埃及人为计算不同尺寸棱台的体积,或许不得不比照这个例子重新演算一番,而这个计算过程又让人感到有点儿混乱不清。我们现代的计算公式就简单明了得多:

  得到人们高度评价的《原本》是一部大型汇编书籍,全书分为13篇,465个命题,其涉及范围,从平面几何、立体几何到数论,无所不包。今天,人们一般认为,在所有这些定理中,只有比较少的一部分是欧几里得本人创立的。尽管如此,但从整个希腊数学体系来看。他毕竟创造了一个数学宝库,它是如此的成功,如此的受人尊崇,以致于所有前人的类似著作都相形见绌。欧几里得的著作很快就成为了一种标准。如此一来,如果一个数学家说到1.47,就只能意为《原本》第一篇第47命题,而无须解释我们所说的是《原本》,犹如人们一提到“I《列王记》7∶23”,就知道说的是《圣经》一样。

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  实际上,这种比较是非常恰当的,因为没有一本书能像欧几里得的大作那样被人看作“数学的圣经”。几百年来,《原本》已出版了2000多个版本,这个数字足以使今天数学教科书的编写家羡慕不已。众所周知,即使在当时,《原本》也获得了巨大的成功。罗马帝国崩溃后,阿拉伯学者将《原本》带到了巴格达。文艺复兴时期,《原本》再度出现于欧洲,其影响十分深远。16世纪的意大利著名学者及100年后年轻的剑桥大学学生艾萨克·牛顿都曾拜读过这部巨著。下面,让我们从卡尔·桑德堡著的亚伯拉罕·林肯传中摘录一段,看一看没有受过什么正规教育的年轻律师林肯是如何磨砺他的推理技能的:

  公式中,a为正方形下底边长,b为正方形上底边长,h是棱台的高。更令人遗憾的是,没有任何资料证明古埃及人的方法为什么会得出正确的答案,他们仅仅留下了简单的一句话“你会发现答案是正确的”。

  “……购买一部欧几里得的《原本》,这部书已有2300年的历史……(他)在外出巡回出庭时,把书装在他的旅行袋里。晚上……别人都已入睡了,他还在借着烛光研读欧几里得。”

  从一个特殊例子引出包罗万象的结论,很可能是危险的,而历史学家注意到,在法老统治下的埃及这种独裁社会,必然会产生这种武断的数学方法。在古埃及社会,民众无条件地服从他们的君主。由此推断,当时,如果提出一种官方的数学方法,并断言“你会发现答案是正确的”,则埃及臣民是不会要求对这种方法为什么正确作出更详尽的解释的。在法老统治的土地上,民众只能惟命是听,让你怎么做就怎么做,不论是建筑巨大的庙宇,还是解答数学题,一概如此。那些敢于怀疑现体制者必然不得善终。

  人们屡屡提及,林肯阅读莎士比亚和《圣经》,文风受到很大影响。同样,他的许多政论文也明显地反映出欧几里得命题的逻辑发展。

  另一处伟大的古代文明(或者更准确地说,另几处文明)在美索不达米亚蓬勃发展,并产生了比古埃及先进得多的数学。例如,巴比伦人已能解出带有明显代数特征的复杂数学题。现存称为“普林顿”的楔形文字泥版书322部(写作年代大约在公元前1900至1600年之间)表明,巴比伦人已明确理解了毕达哥拉斯勾股定理,其理解深度远远超过了古埃及人。他们懂得5-12-13三角形或65-72-97三角形(或更多)都是直角三角形。除此以外,他们还为他们的数系创造了一种复杂的进位系统。当然,我们都习惯于十进位数系。显然,十进位制是从人类有十个手指引申出来的。所以,似乎有点儿奇怪的是,巴比伦人选择了60进位制。当然,没有人会认为这些古巴比伦人长有60个手指,但他们选定的60进位制却仍然用于我们今天的时间(一分钟60秒)和角度测量(在一个圆中,6×60°=360°)。

  伯特兰·罗素(1872—1970年)对《原本》情有独钟,他在自传中写下了这样一段引人注目的回忆:

  然而,美索不达米亚人的所有成就也同样只是“知其然”,而回避了更为重要的“其所以然”的问题。看来,论证数学(一种重点放在证明判定关系上的理论演绎体系)的出现还在别一时间和别一地点。

  “11岁时,我开始学习欧几里得的书,并请我的哥哥当老师。这是我生活中的一件大事,犹如初恋般的迷人。”

  论证数学诞生的时间是公元前1000年,诞生地点是小亚细亚半岛的爱琴海岸和希腊。那里出现了最伟大的历史文明,其非凡的成就对西方文化进程产生了永久性的影响。随着希腊国内和跨越地中海贸易的勃兴,希腊人逐渐成为一个流徙不定,热中冒险的民族,他们比较精明和富裕,在思想和行动上都比以往看到的西方世界更具独立性。这些充满好奇心,且思想自由的商人对权威是不会言听计从的。实际上,随着希腊民主的发展,公民自己就已成为权威(但必须强调指出,公民的定义在古希腊是非常狭隘的)。在这些人看来,对任何问题都可以自由争论,都应该加以分析,对任何观点都不能被动地、无条件地服从和接受。

  我们在本章和下一章讨论《原本》时,应该知道,我们是在沿着一条其他许多人业已走过的道路前进。只有极少数的一些经典著作,如《伊利亚特》和《奥德赛》,才有资格共同组成这一文化遗产。我们将要讨论的命题,阿基米德、西塞罗、牛顿、莱布尼兹、拿破仑和林肯都曾研究过。侧身于这一长长的学生名单之中,不免令我们有些忐忑不安。

  到公元前400年时,这一卓越文明已经能以其丰富的(或许可以说是无与伦比的)智力遗产而自豪。史诗诗人荷马,历史学家希罗多德和修昔底德,剧作家埃斯库罗斯、索福克勒斯和欧里庇得斯,政治家伯里克利和哲学家索克拉蒂斯——所有这些人都在公元前四世纪初叶留下了自己的足迹。在现代社会,名望会很快衰落。因而,现代人可能惊讶,这些古希腊人的名声何以在经历了2000多年之后依然保持其辉煌。直至今日,我们仍然钦佩他们以深邃的理性烛照自然与人类状况的勇气。其理性虽然不乏迷信与无知,但古希腊思想家确实取得了极大的成功。即使他们的结论并非永远正确,但这些希腊人仍旧感到,他们的道路将引导自身从野蛮的过去走向梦想不到的未来。人们在描述这一特别的历史阶段时,常常使用“觉醒”一词,这是十分贴切的。人类的确已从千百万年的沉睡中醒来,以大自然最强大的武器——人类思维,勇敢地面对着这一陌生而神秘的世界。

  欧几里得天赋超人,与其说他创造了一种新的数学,不如说他把旧数学变成一种清晰明确、有条不紊、逻辑谨严的新数学。这绝不是无足轻重的小事。必须认识到,《原本》绝不仅仅只是数学定理及其证明;早至泰勒斯时代,数学家就已对命题作出过论证,而欧几里得对命题作了辉煌的公理化演绎,这是一个根本的区别。在《原本》中,他首先给出要素:23条定义,5条公设和5个公理。这些都是基础,是欧几里得体系的“已知”。他可以在任何时候应用这些要素。利用这些要素,他证明了他的第一个命题。然后,以第一个命题为基础,他可以将他的定义、公设、公理与第一个命题都融合进对第二个命题的证明。如此循序渐进,直至逐条证明所有的命题。

  数学当然也是如此。公元前约600年,在小亚细亚西海岸的小镇米利都,生活着一位伟人,即古代“七贤”之一——泰勒斯(公元前约640—546年)。米利都的泰勒斯是第一个在“知其然”的同时提出“其所以然”的学者,并被公认为论证数学之父。因此,泰勒斯是最早的著名数学家。

  因此,欧几里得不仅仅作出了证明,更重要的是,他是在这种公理结构中作出的证明。这种论证方法的优越性十分明显,其一就是可以避免循环推理。每一个命题都与前一个命题有着十分清晰而明确的联系,并可直接导回原来的公理。懂得计算机的人甚至还能够画出一张流程图,准确显示证明一个特定定理可以应用哪些推导结果。这种证明方法比“投入”法优越得多,因为使用“投入”法,人们总是不清楚以前的哪些推导结果可以应用,哪些不可以应用。而且,在推导过程中,还有一个很大的危险,就是,如果要证明定理A,可能需要应用结果B,但反过来,如果不应用定理A本身,可能又无法证明结果B。这样,就出现了自我相关的“怪圈”,犹如一条蛇吞吃了自己的尾巴。在数学上,显然徒劳无益。

  关于他的生平,我们掌握的确切资料很少。他实际上是作为一个半神话式人物从历史的薄雾中显现的,归于他名下的那些发现是否属实,人们仅仅是猜测而已。传记作家普卢塔克(公元46-120年)回顾了700年前的史迹,他写道:“……当时,泰勒斯独自将纯粹基于实践的哲学上升到理性的高度。”泰勒斯作为著名的数学家和天文学家,以某种方式预言了公元前585年发生的日蚀,他像所有古板的科学家一样,常常心不在焉或长时间的出神——据传说,有一次,他一边散步,一边仰望星空,竟然掉进了一口深井中。

  除此以外,公理化还有另一个优点。由于我们能够明确判别任何命题的前一个命题,因此,如果我们需要改变或消除某一基本公设,我们就能够立即觉察出可能会出现哪些情况。例如,如果我们没有应用公设C或根据公设C证明的任何结果,就证明出了定理A,那么,我们可以断言,即使消除公设C,定理A依然正确。这看起来似乎有点儿深奥,但在存有争议的欧几里得第5公设中,恰恰出现了这样的问题,引起了数学史上一次持续时间最长、意义最深远的辩论。我们将在本章的“后记”中详细讨论这一问题。

  泰勒斯虽然被公认为论证数学之“父”,但实际上,他却从未结过婚。当同代人梭伦向他追问原因时,他竟开了一个刻薄的玩笑。泰勒斯让人带给梭伦一个消息说你的儿子死了。据普卢塔克记载,梭伦当时:

  因此,《原本》的公理化演绎方法是非常重要的。虽然欧几里得没有使之尽善尽美,但它的逻辑极为严密,而且,欧几里得成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的连续网络,所有这些,都使之成为其后所有数学著作的范本。时至今日,在神秘的拓扑学、抽象代数或泛函分析领域,数学家们还是首先提出公理,然后,一步一步地推导,直至建立他们奇妙的理论。而这正是欧几里得谢世2300年后的再现。 

  “……捶胸顿足,痛不欲生,像人们遭遇不幸时惯常所做的那样。但泰勒斯拉着他的手,笑了笑说:‘梭伦,就是这些事情让我不想结婚,也不想生儿育女,这实在太难了;不过,你不必太过伤心,因为这都是假的。’”

第一篇:序 

  显然,泰勒斯不是那种心地善良之辈。从农夫的故事中,我们也可以得到同样的印象。一个农夫常常要将沉重的盐袋驮在驴背上,赶着驴去集市卖盐。聪明的驴子很快就学会了在涉过一条小河时打滚,把许多盐溶化在水里,大大减轻盐袋的重量。农夫非常生气,就去请教泰勒斯。泰勒斯建议农夫在下次赶集时,给驴驮一袋海绵。

  在本章中,我们只重点讨论《原本》的第一篇;其后几篇,我们将在第三章讨论。第一篇一开始就提出了一系列互不连贯的平面几何定义。(欧几里得的全部引文均摘自托马斯·希思编辑的百科全书中“欧几里得《原本》十三篇”。)其中一些定义如下:

  当然,泰勒斯对人或动物的不友善,并不妨碍他在数学领域赢得很高的声望。正是泰勒斯曾极力主张,对几何陈述,不能仅凭直觉上的貌似合理就予以接受,相反,必须要经过严密的逻辑证明。这是他留给数学界的一笔相当可观的遗产。

  □ 定义1 是没有部分的一种东西。
  □ 定义2 线是没有宽度的长度。
  □ 定义4 直线是其上各点无曲折地排列的线。

  确切地说,泰勒斯的定理究竟是什么呢?传统上认为,泰勒斯第一个证明了下列几何性质:

  欧几里得今天的学生会发现这些定义的措词都是不可接受的,而且,还多少有点儿古怪。显然,在任何逻辑系统中,并非每个名词都是可以定义的,因为定义本身又是由其它名词组成的,而那些名词也必须定义。如果一个数学家试图对每个概念都给出定义,那么,人们一定会批评他在制造一个庞大的循环论证的怪圈。例如,欧几里得所说的“没有宽度”究竟是什么意思?而“各点无曲折地排列”的技术性含义又是什么?

  ■ 对顶角相等。
  ■ 三角形的内角和等于两个直角之和。
  ■ 等腰三角形的两个底角相等。
  ■ 半圆上的圆周角是直角。

  从现代观点来看,一个逻辑系统总是始于一些未经定义的词,而以后所有的定义都与这些词有关。人们肯定会尽力减少这些未定义词的数量,但这些词的出现却是不可避免的。对于现代几何学家来说,“点”和“直线”的概念就始终未经定义。像欧几里得所用的陈述,有助于我们在头脑中形成某些图像,并非完全没有益处;但是,作为准确的逻辑定义来说,这最初的几个词是不能令人满意的。

  虽然我们没有任何有关泰勒斯对上述命题证明的历史记载,但我们可以推断它们的本来面目,例如上述的最后一个命题。下列证明方法选自欧几里得的《原本》第三篇第31命题,但它简单明了,完全可以看作是泰勒斯自己最初的证明。

  所幸他后来的定义却比较成功。其中一些在我们第一篇的讨论中非常突出,值得予以评述。 

定理 半圆上的圆周角是直角。

  □ 定义10
一条直线与另一条直线相交,如果两个邻角相等,则这两个邻角都是直角,而与另一条直线相交的直线叫做那条直线的垂线。 

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  现代读者可能会对此感到奇怪,欧几里得并没有将直角定义为90°角;实际上,在《原本》中,也没有任何一个地方讲到“度”是角的测量单位。在这部书中,唯一有意义的角测量是直角。正如我们所看到的那样,欧几里得将其定义为一条直线上两个相等的邻角之一。

证明
以O为圆心,以BC为直径作半圆,选半圆上任意一点A作圆周角BAC(图1.4)。我们必须证明∠BAC是直角。连接OA,形成△AOB。由于OB和OA都是半圆的半径,长度相等,所以△AOB是等腰三角形。因此,根据泰勒斯先前所证明的定理,∠ABO与∠BAO相等(或用现代术语,迭合);我们称这两个角为α。同样,在△AOC中,OA与
OC相等,因此,∠OAC=∠OCA;我们称这两个角为β。而在大三角形BAC中,我们看到,

  □ 定义15
是包含在一条线里的平面图形,因此,从圆内某一点出发连到该线的直线都相等。 

  2个直角=∠ABC+∠ACB+∠BAC

  显然,圆内的“某一点”是指圆心,而他所说的相等的“直线”则是半径。

  =α+β+(α+β)

  欧几里得在定义19至22中,定义了三角形(由三条直线包含的平面图形)、四边形(由四条直线包含的平面图形)和一些特定的子类,如等边三角形(三条边都相等的三角形)和等腰三角形(“只有两条边相等”的三角形)。他最后的定义是十分重要的:

  =2α+2β=2(α+β)

  □ 定义23
平行直线是两条在同一平面且向两个方向无限延伸的直线,这两条直线在两个方向上不相交。 

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  请注意,欧几里得避免了用“处处等距”的术语来定义平行线。他的定义更为简单,而且少有逻辑陷阱:平行线只是在同一平面且不相交的直线。

  这正是我们要证明的。证讫。①

  基于这些定义,欧几里得提出了五个几何公设。请不要忘记,这些都是欧几里得体系中的“已知”,是不言自明的真理。他当然对此必须审慎地选择,以避免重叠或内在的不一致。

  泰勒斯之后,希腊又一位伟大数学家是毕达哥拉斯。毕达哥拉斯公元前约572年出生于萨摩斯,并在爱琴群岛东部生活和工作,甚至,据说,他还曾师从泰勒斯。但当暴君波利克拉特斯僭取这个地区的政权之后,毕达哥拉斯逃到了现今意大利南部的希腊城镇克洛托内。他在那里创办了一个学术团体,今称为毕达哥拉斯兄弟会。毕达哥拉斯哲学认为,“整数”是宇宙的要素,万物的元质。不论是音乐、天文学,还是哲学,“数”的中心地位是随处可见的。关于物理可以“数学化”地理解的现代观点在很大程度上也源自于毕达哥拉斯学派的观点。

  公设1 从任一点到任一点〔可〕作一条直线。

  在严格意义的数学领域,毕达哥拉斯学派为我们提供了两个伟大发现。一个当然是无与伦比的毕达哥拉斯定理。像所有远古时代的其他定理一样,我们没有关于毕达哥拉斯原论证的历史资料,但古人却一致将这一定理的发现归于毕达哥拉斯的名下。据说,毕达哥拉斯曾向上帝献祭一头牛,以庆祝他的论证带给各方的喜悦(大概这头牛除外)。

  公设2 有限直线〔可〕沿直线无限延长。 

  但毕达哥拉斯学派的另一个重要贡献却没有得到人们的热情支持,因为它不仅公然蔑视直觉,而且还冲击了整数的优势地位。用现代说法,他们发现了无理量,但他们的论证方法却有点儿几何学的味道:

  我们即刻可以看出,这前两个公设恰好可以允许我们用无刻度直尺作图。例如,如果几何学家想用一条直线连接两点(这正是可以用直尺完成的作图),则公设1为此提供了逻辑依据。 

  两条线段,AB和CD,如果有一条可均匀分割AB和CD的小线段EF,我们就说线段AB和CD是可公度的。也就是,对于整数p和q来说,AB是由p段相等于EF的线段组成;而CD是由q段同样的线段组成(见图1.5)。

  公设3 给定中心和距离(半径),〔可以〕作一个圆。

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  这样,公设3就为以已知点为圆心,以已知距离为半径,用圆规作圆提供了相应的逻辑根据。因此,我们可以说,这前三个公设加在一起,就为欧几里得作图工具的全部用途奠定了理论基础。

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  是否确实如此呢?人们只要回想一下自己的几何作图训练,就会想起圆规的另一个用途,即用以将平面上某一部分的固定长度转移到另一部分。具体做法是,已知一条线段,拟在另一处复制其长度。将圆规的尖端放在线段的一端,并将圆规的铅笔端对准线段的另一端;然后,将圆规固定,并拿起圆规,放在需要复制线段的位置。这是一种非常简便,又非常有用的方法。但是,按照欧几里得的规则,这种方法却是不允许的,因为在他的著作中,没有一个地方提出一种公设,允许用这种方法转移长度。因此,数学家们常常称欧几里得的圆规是“可折叠的”。就是说,虽然圆规完全有能力作圆(如公设3所保证的),但只要把圆规从平面拿起,圆规就闭拢了,无法再打开。

  凭着直觉,毕达哥拉斯学派认为,任何两个量都是可公度的。给定两个线段,必有另一条线段EF,可以均匀地分割这两个线段,即使取非常小的EF,也是如此。怀疑EF的存在,似乎是十分荒谬的。线段的可公度性对毕达哥拉斯学派至关重要,这不仅因为他们利用这一观点证明相似三角形,而且还因为这一观点似乎可以支持他们关于整数中心作用的哲学态度。

  造成这种情况的原因究竟是什么?欧几里得为什么不再增加一条公设,以支持这一非常重要的转移长度的方法呢?答案十分简单:他不需要假定这样一种方法作为公设,因为他证明出了这种方法,并将其作为第一篇的第三命题。也就是说,虽然欧几里得的圆规一从纸上拿起来变成“可折叠”的了,但他的确提出了一种十分巧妙的转移长度的方法,并证明了他的方法为什么奏效。欧几里得令人仰慕之处就在于,他尽力避免假定他实际上能够推导出来的公设,因而使他的公设的数目少而且精。

  但是,据说,毕达哥拉斯的弟子希帕萨斯发现正方形的边长与其对角线(见图1.6中的GH与GI)却不可公度。因为不论划分多小,都没有一个EF量可以均匀地分割正方形的边长和对角线。

  公设4 所有直角都相等。

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  这一公设与作图无关,它提供了一个贯穿于整个欧几里得几何体系的统一的比较标准。定义10引入了直角概念,而现在,欧几里得则假定任何两个直角,不论在平面的什么位置,都相等。基于这一公设,欧几里得提出了一个在希腊数学界引起最大争议的公设: 

  这一发现产生了许多深远的结果。显然,这个发现粉碎了毕达哥拉斯那些建立在所有线段都可公度的假设基础之上的证明。几乎200年之后,数学家欧多克索斯才设法在不基于可公度概念的基础上,修补了相似三角形理论。其次,这一发现还动摇了整数至高无上的地位,因为如果并非一切量都可公度,那么,整数对于表示所有线段长度的比就显得不充分了。因此,这一发现在其后的希腊数学中,建立了几何对算术的绝对优势。例如,如图1.6所示,正方形的边长和对角线无疑属于几何问题。如果作为数字问题来计算,则会出现严重的问题。因为,如果我们设上图正方形的冠亚体育娱乐 10
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  公设5
如果一条直线与两条直线相交,且如果同侧所交两内角之和小于两个直角,则这两条直线无限延长后必将相交于该侧的一点。

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  如图2.1所示,这一公设的意思是说,如果a+β小于两个直角,则直线AB与CD相交于右侧。公设5常常被人们称为欧几里得的平行线公设。这显然有点儿用词不当,因为实际上这一公设规定了使两条直线相交的条件,因此,根据定义23,更准确的名称应该叫不平行公设。

的数字处理,而全神贯注于通过简明的几何体来表达量。这种几何对算术的优势将支配希腊数学一千年。

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  无理数的发现所带来的最终结果是,毕达哥拉斯的信徒们对希帕萨斯引起的所有混乱大为恼怒,据说他们把希帕萨斯带到地中海深处,然后掀下水中。如果故事属实,则自由思想的危险性,由此可见,即使是在比较严肃的数学领域,也不例外。

  显然,这一条公设与其它公设完全不同。它的行文较长,而且需要有图帮助理解,似乎远不是那种不证自明的真理。这条公设看来过于复杂,与泛泛而谈的“所有直角都相等”显然不属同一类。实际上,许多数学家都直觉地感到这第5条公设实际上是一个定理。他们认为,正如欧几里得不需要假定可用圆规转移长度,他也不需要假定这样一条公设,他完全可以借助更基本的几何性质证明这一点。有证据表明,欧几里得自己也对这个问题感到有点儿不安,因为他在第一篇的演绎中一直尽力避免应用这一平行线公设。也即,在最初的28个命题中,既然他感到完全可以首先和经常使用其他公设,他就放弃了使用第5条公设。但诚如“后记”中所表明,怀疑是否需要这一公设是一回事,作出实际证明则是另一回事。

  泰勒斯和毕达哥拉斯,虽然在传奇和传统中神乎其神,但他们都是远古时代模糊而朦胧的人物。我们下面将介绍的希俄斯的希波克拉底(约公元前440年)则是一位比较确实的人物。事实上,我们把有据可查的最早的数学论证归于他的名下。这将是我们所要介绍的第一个伟大定理的主题。

  根据这一有争议的公设,欧几里得提出了五个公理,从而完了他的序篇。这五个公理也都是不证自明的真理,但具有更一般的性质,不仅仅只对几何学有效。这些公理是 

  希波克拉底公元前5世纪生于希俄斯岛。当然,这是产生上述他的杰出前辈的同一个地方。(顺便提请读者注意,希俄斯岛距科斯岛不远,当时那里出生了另一位“希波克拉底”;科斯的希波克拉底(不是我们所说的希波克拉底)乃希腊的医学之父和医生遵循的《希波克拉底誓言》的创始人。)

  □ 公理1 与同一个东西相等的东西,彼此也相等。
  □ 公理2 等量加等量,总量仍相等。
  □ 公理3 等量减等量,余量仍相等。
  □ 公理4 彼此重合的东西相等。
  □ 公理5 整体大于部分。

  关于数学家希波克拉底,我们对他的生平知之甚少。亚里士多德曾写过,希波克拉底虽然是一位天才的几何学家,但他“……看起来在其他方面却显得迟钝又缺乏见识”。身为数学家,却难以应付日常生活,他即是早期的这样一类人。传说,希波克拉底是在被强盗骗去钱财后出名的,显然,他被人当作了容易受骗的傻瓜。为了挽回损失,他前往雅典,并在那里教学,他是少数几位为挣钱而开始教学生涯的人之一。

  在这五个公理中,只有第4个公理有点儿让人费解。显然,欧几里得的意思是,如果一个图形能够严格不变地从纸上某一位置拿起,放到第二个图形上,两个图形完全重合,则两个图形在各个方面都相等——即它们有相等的角,相等的边,等等。长期以来,人们认为,公理4具有某种几何特征,应该归入公设的范围。

  无论如何,我们都不会忘记希波克拉底对几何学作出的两个非凡的贡献。其一是他编写了第一部《原本》,第一次阐述了从几个已知公理或公设中精确而有逻辑性地推导出几何定理的过程。至少,人们相信是他写了这部著作,但遗憾的是,这部书没有能够流传至今。然而,这部书不论多么有价值,与100年后欧几里得的煌煌巨作《原本》相比,也不免黯然失色。欧几里得的《原本》从根本上宣判了希波克拉底著作的过时。即使如此,我们仍有理由认为,欧几里得借鉴了他前辈的思想,因此希波克拉底失传的大作无疑使我们受益良多。

  所有这些就是整个《原本》大厦建筑其上的假设陈述的基础。现在,让我们再来看一看青年伯特兰·罗素在其自传中的另一段回忆:

  然而,令人欣慰的是,希波克拉底的另一个伟大贡献——求新月形面积——却流传至今,虽然大家公认,其流传是无意的和间接的。我们未能得到希波克拉底的原作,而只传有欧德摩斯公元前约335年对希波克拉底著作的转述;即使就转述而言,事情也不乏含混之处,因为实际上,我们也没有真正找到欧德摩斯的原著。相反,我们只看到了辛普利西乌斯于公元530年写的概要,他在这本书中论述了欧德摩斯的著作,而欧德摩斯则概括了希波克拉底的著作。实际上,从希波克拉底到辛普利修斯,其间经历了近一千年之久,差不多等于我们与莱弗·埃里克松之间的时间跨度,这说明历史学家在考证古代数学时遇到了多么大的困难。尽管如此,我们没有理由怀疑我们所探讨的著作基本上是可靠的。 

  “我听说欧几里得证明了一些定理,但看到他从公理入手,感到非常失望。起初,我拒绝接受这些,除非哥哥讲明这样做的道理,但他说,‘如果你不接受它们,我们就无法继续。’我为了能继续学习,勉强接受了它们。” 

有关求面积问题的一些评论 

第一篇:早期命题 

  在探讨希波克拉底的新月形面积之前,我们先要介绍一下“求面积”的概念。显然,古希腊人被几何的对称性,视觉美和微妙的逻辑结构吸引住了。尤其令人感兴趣的是以简单和初步的东西作为复杂和纷繁问题基础的方式。这一点在下章我们探讨欧几里得定理时,就会显得十分明了。欧几里得从一些基本的公理和公设开始,一步步地推导出一些非常复杂的几何命题。

  在《序》的基础上,欧几里得开始证明他第一篇中的前48个命题。我们在此只讨论那些特别有趣或特别重要的命题,目标是要到达命题I.47和I.48,因为这两个命题是第一篇的逻辑顶峰。

  这种以简单构筑复杂的魅力还表现在希腊人的几何作图上。他们作图的规则是,所有作图都只能使用圆规和(没有刻度的)直尺。几何学家利用这两种非常简单的工具,便能够作出完美、一致的一维图形(直线)和完美、一致的二维图形(圆)——这必定出自于希腊人对秩序、简明性和美的感受。并且,这种作图方法也是当时的技术水平所力所能及的,例如,当时还不可能画出抛物线。也许,准确地说,是直线和圆的审美魅力加强了直尺和圆规作为几何作图工具的中心地位,同时,直尺和圆规的物质可用性又转过来增进了直线和圆在希腊几何中的作用。

  如果一个人想从一些特定公理开始演绎几何,那么,他的第一个命题应该是什么呢?对于欧几里得来说,这第一个命题就是

  古代数学家利用直尺和圆规绘制了许多几何图形,但同时也受制于这两种工具。正如我们所看到的,圆规和直尺这两种似乎并不复杂的工具,掌握在聪敏的几何学家手中,便可以绘制出丰富多采和各式各样的几何图形,从平分线段和角,绘制平行线和垂直线,到创造优美的正多边形,不一而足。但是,公元前5世纪,更加严重的挑战却是平面图形的求面积或求方。确切地说:

  命题I.1 在已知有限直线上作等边三角形。 

  
一个平面图形的求面积(或化其为方)就是只用圆规和直尺作出面积等于原平面图形的正方形。如果一个平面图形的求面积能够实现,我们就说这个图形是可用等价平方表示的(或可为平方的)。

  证明
欧几里得开始先作已知线段AB,如图2.2所示。然后,他以A为圆心,以AB为半径,作圆;再以B为圆心,以AB为半径,作第二个圆。当然,这两个圆都应用了公设3,而且,在从纸上拿起圆规时,不要求圆规保持打开状态。设C为两圆交点。欧几里得根据公设1作直线CA和CB,然后,宣布△ABC是等边三角形。因为根据定义15,由于AC和
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  求面积问题能够引起希腊人的兴趣并不奇怪。从纯粹实践的观点看,确定一个不规则图形的面积当然不是一件易事。但如果这个不规则图形能够用一个等面积的正方形替换,那么,确定原不规则图形面积的问题就变成了确定正方形面积的简单问题。

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  毫无疑问,希腊人对求面积问题的强烈爱好已超出了实践范围。因为如果求方能够实现,就用规则的对称性正方形替换了不规则不对称的平面图形。对于那些寻求以理性和秩序支配自然世界的人来说,这在很大程度上是一个由不对称到对称,变缺陷为完美,以有理性取代无理性的过程。在这种意义上,求面积问题就不仅是人类理性的象征,而且也是宇宙本身所固有的和谐和美的象征。

  这是一个非常简单的证明,只应用了两个公设,一个公理和两个定义,乍一看,似乎很完美。但遗憾的是,这个证明是有缺点的。即使古希腊人,不论他们对《原本》评价多高,也都看出了欧几里得最初论证的逻辑缺陷。

  对于希腊数学家来说,探讨求面积问题是一个特别具有吸引力的课题,为此,他们作出了许多巧妙的几何图形。解数学问题,答案常常是一步一步推导出来的,求面积也是如此。第一步先要求出一个大体“规则”的图形的面积,然后再以此为基础,继续推导出更不规则,更稀奇古怪图形的面积。在这一过程中,关键性的第一步是要求出长方形面积。长方形面积的解法在欧几里得《原本》第二篇的命题14中就有所阐述,但我们确信,在欧几里得之前,人们便已熟知这种解法。下面,我们先从长方形面积的解法讲起。 

  问题出在C点上。欧几里得如何证明两个圆实际上一定会相交呢?他怎么知道这两个圆不会以某种方法相互通过而不相交呢?显然,由于这是他的第一个命题,他以前并没有证明过这两个圆必然相交。而且,在他的公设或公理中,也都没有提到这个问题。对C点存在的唯一证明就是图中的明确表示。

第1步 求长方形面积(图1.7)

  但问题就在这里。因为如果说欧几里得想从他的几何中排除什么,那就是代替了证明的对图的依据,根据他自己的基本规则,证明必须建立在逻辑基础上,必须建立在依据公设和公理所做的谨慎的推理基础上,一切结论最终都必须来源于此。欧几里得“让图说话”,就违背了他给自己制定的规则。并且,如果我们想从图中得出结论,我们完全可以根据观察来判明命题1.1,即所作三角形看起来是等边三角形。如果我们求助于这种视觉判断,那么,一切都不再成立。

  作任意长方形BCDE。必须只用圆规和直尺作出与BCDE面积相等的正方形。用直尺将线段BE向右延长,再用圆规在延长线上截取长度等于ED冠亚体育娱乐 16

  现代几何学家认为,需要增加一个公设,以作为判定这两个圆必定相交的理论根据,这一公设有时称之为“连续性公设”。他们还引入了其他公设,以弥补《原本》中这里或那里出现的类似缺陷。本世纪初,数学家戴维·希尔伯特(1862—1943年)依据20个公设演绎出他自己的几何学,堵塞了欧几里得的许多漏洞。因而,
1902年,伯特兰·罗素对欧几里得的著作给予了否定的评价:

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过E点作线段EH垂直于BF,这里,H是垂线与半圆的交点,据此,作出正方形EKLH。

  “他的定义并非总是确定的,他的公理也不是都无法证明,他的论证需要许多公理,而他自己却没有意识到。严谨的证明应在没有图形辅助时依然保持其论证的力量,但欧几里得的许多早期证明却不能如此……他的著作作为逻辑名作的价值在很大程度上被夸大了。”

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  大家公认,欧几里得在以图像、而不是以逻辑为先导时,他不过是没做应该做的事。而在他全部465个命题中,并没有一处做了不该做的事。他的465个定理,没有一个是虚假的。只要对他的证明作一些小小的改动,并增加一些遗漏的公设,他的全部命题就能够经受住时间的考验。那些赞同罗素观点的人不妨首先将欧几里得的著作与希腊天文学家、化学家或物理学家的著作作一番比较。用现代标准来看,那些古希腊科学家真正是处于原始状态,今天,没有一个人会依据这些古代科学家的著作来解释月球的运动或肝脏的功能。但与此相反,我们经常可以请教欧几里得。他的著作是一项永恒的成就。它无须依赖收集数据或创造更精密的仪器。一切只需敏锐的理性,而欧几里得恰恰高于理性。

  冠亚体育娱乐 19影部分)与原长方形BCDE面积相等。

  命题I.2和I.3巧妙解决了前面提到的在没有移动圆规的明确公设情况下转移长度的问题;而命题I.4则是欧几里得的第一个全等命题。用现代话说,这一命题就是“边角边”或“SAS”三角形全等模式,对此,读者应回想起中学几何课上学过的知识。命题I.4设定,如果有两个三角形,其中一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条边及其夹角相等,则这两个三角形全等(图2.3)。

  但要证明这一结论,还需要花点儿力气。为计算方便,我们设a、b、c分别等于线段HG、EG和EH。由于所作△GEH是直角三角形,根据勾股
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            冠亚体育娱乐 22
  =(a+b)(a-b),据以上推理
  =a2-b2
  =c2=面积(正方形 EKLH)

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  这样,我们就证明了原长方形面积等于我们用圆规和直尺所作正方形(图中阴影部分)的面积,并以此完成了长方形的求方。

  冠亚体育娱乐 24后,他拿起△DEF,放到△ABC上,并证明,两个三角形完全重合。这种用叠加方式证明的方法早已不受欢迎。并且,谁能说当图形在纸上移动的时候,它们不会变形或扭曲呢?希尔伯特认识到了这种危险,他实质上已将SAS作为他的公理Ⅳ.6。

  求出长方形面积后,我们很快便可进入下一步,求更加不规则图形的面积。 

  命题I.5确定等腰三角形的两个底角相等。这一定理以“笨人不过桥”著称。之所以有此说法,一则是因为欧几里得的图形有点儿像一座桥;再则是因为,许多差些的学生都难于理解这一定理的逻辑,因此,也就无法跨过这座桥,进入《原本》的其它部分。

第2步 求三角形面积(图1.8)

  接下来的命题,即命题I.6,是命题I.5的逆命题。该命题确定,如果一个三角形的两个底角相等,则这个三角形是等腰三角形。显然,逻辑学家对定理及其逆定理极感兴趣,所以,欧几里得在证明一个命题后,常常会插入逆命题证明,即使省略或延迟这一证明都不致损害他著作的逻辑。

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  欧几里得的第二个三角形全等模式——“边边边”或“SSS”,写入了命题I.8。这一命题确定,如果有两个三角形,其中一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边相等,则这三条边所对应的两个三角形全等。

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的面积,因而,该正方形的面积也等于△BCD的面积。至此,三角形的求方完成。

  随后的几个命题是作图命题。欧几里得演示了如何用圆规和直尺平分一个已知角(命题I.9)或一个已知线段(命题I.10)。紧跟其后的两个命题则演示了如何作已知直线的垂线,其一是过直线上已知点作垂线(命题I.11),其二是过直线外已知点作垂线(命题I.12)。

  下面,我们将讨论一个非常一般的图形。 

  欧几里得下面的两个定理是关于邻角∠ABC和∠ABD的,如图2.4所示。他在命题I.13中证明,如果CBD是一条直线,那么,上述两个角之和等于两个直角;在命题I.14中,他证明了这一定理的逆定理,即,如果∠ABC与∠ABD之和等于两个直角,则CBD是直线。接着,他应用这一角与直线的性质,证明了更为重要的命题I.15。

第3步 求多边形面积(图1.9) 

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  命题I.15 如果两条直线相交,则所形成的对顶角相等(图2.5)。

  我们首先讨论一个非常一般的多边形,如图所示。我们通过作对角线,将这个多边形划分为三个三角形,即B、C和D。因此,整个多边形的面积就等于B+C+D。

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  在第2步中,我们已知道三角形是可用等价平方表示的,因此,我们可以分别以边长b、c和d作正方形,并得到面积B、C和D(图
1.10)。然后,以
b和c为直角边,作直角三角形,其斜边长为x,即x2=b2+c2。我们再以x和d为直角边,作直角三角形,其斜边为y,因而,y2=x2+d2。最后,我们便可以以y为边长作正方形(见图1.11阴影部分)。

  证明 因为AEB是一条直线,所以,命题I.13保证了∠AEC
  与∠CEB之和等于两个直角。同样,我们可以说,∠CEB与∠BED
  之和也等于两个直角。公设4称,所有直角都相等,并根据公理1
  和2,得出∠AEC+∠CEB=∠CEB+∠BED。然后,根据公理3,
  从等式两边各减去∠CEB,欧几里得即得出结论,对顶角∠AEC
  和∠BED相等,与命题一致。 证讫。

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  这一定理又为我们引出了命题I.16,即所谓外角定理,这是《第一篇》中最重要的定理之一。

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  命题I.16 在任何三角形中,一角的外角大于其他两角中的任何一角。

  综合我们的推论,就得到

  证明
已知△ABC,延长BC到D,如图2.6所示,我们必须证明∠DCA大于∠CBA或∠CAB。欧几里得先根据命题I.10,平分AC于E,然后,根据公设1,作线段BE。公设2使他可以延长BE,并根据命题I.3,冠亚体育娱乐 32

  y2=x2+d2=(b2+c2)+d2=B+C+D

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  因此,原多边形的面积就等于以y为边长的正方形的面积。

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据命题I.4(即“边角边”或SAS),这两个三角形全等,所以,∠BAE=∠FCE。∠DCA显然大于∠FCE,因为根据公理5,整体大于部分。因此,外角∠DCA大于内对角∠BAC。用同样方法也可以证明∠DCA大于∠ABC。证讫。

  显然,这一推导过程适用于任何可作对角线将其划分为四个、五个或任何数量三角形的多边形。不论什么样的多边形(见图1.12),我们都可以将其划分为若干三角形,并依照第2步的方法,作每个三角形的等面积正方形,然后,根据勾股定理,利用每一个正方形,作出大正方形,其面积即等于原多边形的面积。总而言之,多边形是可用等价平方表示的。

  外角定理是一个几何不等式。《原本》中随后的几个命题也是如此。例如,命题I.20确定,三角形任何两边之和必大于第三边。但据我们所知,古希腊伊壁鸠鲁派对这一定理很不以为然,因为他们认为这条定理太通俗,犹如不证自明的公理,甚至连驴子也会明白。也就是说,如果有一头驴站在A点(图2.7),而它的食物放在B点。这头驴肯定本能地懂得,从A直接到B,路程比沿两条边走,即从A到C,再从C到B要短。人们曾认为,命题I.20确是一条不证自明的真理,因此应属于公设。然而,如果能够作为一条命题证明这一定理,犹如前文中圆规的例子一样,欧几里得当然不愿再去假定一条公设,而他对这一定理所做的证明又是非常富有逻辑性的。

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  利用类似方法,如果一个图形的面积为两个可用等价平方表示的面积之差(而不是其和),我们可将其化为正方形。假设已知面积E等于面积F与G之差,并且,我们已作出边长为f和g的正方形,如图1.13所示。然后,我们可作直角三角形,使其斜边等于f,直角边等于g和e。最后,以边长e作正方形。即

  欧几里得接着又提出了几条不等式命题,随后提出了他最后一条全等定理,即重要的命题I.26。在这一命题中,他首先证明了“角边角”或ASA的全等模式,并以此作为命题I.4“边角边”或SAS全等定理的推论。然后,在命题I.26的第二部分,欧几里得又提出了第四个,也是最后一个全等模式,即“角角边”。对此,他证明,如果∠2=∠5,∠3=冠亚体育娱乐 37 

  面积(正方形)=e2=f2=g2=F-G=E

  开始,人们会认为这只是“角边角”模式的直接推论而不予考虑。我们可以很清楚地看到,∠2+∠3=∠5+∠6,据此,我们可以得出

  因此,面积E也同样可用等价平方表示。

  ∠1=2个直角-(∠2+∠3)=2个直角-(∠5+∠6)=∠4

  希波克拉底时代的希腊人利用上述方法可以将杂乱无章的不规则多边形变为等面积正方形。但是,这一成就却因一个明显的事实而减色不少,即这些图形都是直线图形——它们的边虽然数量众多,并构成各种奇形怪状的角度,但都只是直线。而更严重的挑战是,曲边图形(即所谓曲线图形)是否也可以用等价平方表示。起初,人们认为,这似乎是根本不可能的,因为显然没有办法用圆规和直尺将曲线拉直。因此,当希俄斯的希波克拉底于公元前5世纪成功地将一种称为“新月形”的曲线图形化为正方形时,世人惊得目瞪口呆。

  然后,我们可以再回复到“角边角”(ASA)的全等模式,因为我们可以把等式中的角放在AB与DE的任何一端。

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伟大的定理:求新月形面积

  这是一个简短的证明;但遗憾的是,这个证明同样不能令人满意。在这里欧几里得不能引用这一证明,因为他还必须证明一个三角形三个角的和等于两个直角。的确,如果没有这一关键性的证明,似乎完全不可能证明“角角边”(AAS)的全等定理。但是,欧几里得却确实证明出了这一定理,他用反证法作了如下精彩的证明。

  新月形是一种边缘为两个圆弧的平面图形——即月牙形。希波克拉底并没有作出所有新月形的等面积正方形,而只求出了一种他所精心构造的特定新月形的面积。(犹如“后记”中所述,这种区别似乎造成了后人对希腊几何的误解。)希波克拉底的论证是建立在三个初步公理之上的:

  命题I.26(角角边或AAS)
已知两个三角形,如果其中一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等,一条边,即……相等角中的一个对边,等于另一个三角形相应的一条边,则其余的边和其余的角也相等。

  ■ 勾股定理

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之等于EF。然后,作线段AH。

  ■ 半圆上的圆周角是直角

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因此,根据“边角边”定理,△ABH与△DEF全等。所以,∠AHB=∠6,因为它们是两个全等三角形的对应角。

  ■ 两个圆形或半圆形面积之比等于其直径的平方比。

  然后,欧几里得将注意力集中于小△AHC,并注意到,其外角AHB和相对内角∠3都等于∠6,因此,∠AHB与∠3也应该相等。但是,欧几里得在重要的命题I.16中已然证明,外角必定大于内对角。这一矛盾表冠亚体育娱乐 42相等,因而,根据“边角边”定理,原三角形ABC与
DEF全等。 证讫。

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  前两个公理在希波克拉底之前很久便已为人所知。而最后一个命题却十分复杂。两个圆形或半圆形面积之比是基于以其直径为边长所作的两个正方形面积之比的(见图1.14)。例如,如果一个半圆的直径是另一个半圆的5倍,则第一个半圆的面积是第二个半圆面积的25倍。然而,这一命题却给数学史家提出了一个问题,因为人们普遍怀疑希波克拉底是否确曾对此作出过正确的证明。他尽可认为他能够证明这一命题,但现代学者普遍认为,这一定理(后来被列入欧几里得《原本》第七篇的第二命题)所提出的逻辑难题远不是希波克拉底所能够解决的。(这一定理的求导过程见第四章。)

  我们再来看一看这一巧妙论证的重要意义:这四种全等模式(边角边、边边边、角边角和角角边)都成立,但无须涉及三角形三个角之和等于两个直角的问题。

  我们暂且抛开这个问题不谈,先来看一看希波克拉底的证明。首先,冠亚体育娱乐 46
AB,且与半圆相交于C,并连接AC与BC。平分AC于D,然后,以D为圆心,以AD为半径作半圆AEC,这样,就形成了新月形AECF,如图中阴影部分所示。

  命题I.26结束了第一篇的第一部分。回顾这一部分的内容,我们看到,欧几里得在几何上已很有造诣。即使他还不得不应用他的平行线公设,但他已经确立了四种全等模式,研究了等腰三角形、对顶角和外角,并进行了各种作图。但是,他并未就此止步,仍在尽力走得更远。《原本》随即提出了平行线的概念。 

  希波克拉底的证明方法既简单又高明。首先,他必须证实所论证的新月形与图中阴影部分的△AOC面积完全相等。这样,他就可以应用已知的三角形能表示为等价平方的公理来断定新月形也可用等价平方表示。这一经典论证的详细过程如下: 

第一篇:平行线及有关命题 

  定理:新月形AECF可用等价平方表示。 

  命题I.27
一条直线与两条直线相交,如果内错角相等,则这两条直线平行。 

  证明;由于∠ACB内接于半圆,所以,∠ACB是直角。根据“边角边”
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  勾股定理,就得到

  证明
见图2.10,假设∠1=∠2,欧几里得必须证明直线AB与CD平行——即,根据定义23,他必须证明这两条直线不会相交。他采用间接证法,先假设这两条直线相交,然后找到所涉的矛盾。假设直线AB与CD延长后,相交于G。那么,图形EFG就是一个延伸很长的三角形。但是,△EFG的外角∠2等于这同一个三角形的内对角∠1。根据命题I.16外角定理,这种情况是不可能的。因此,我们断定,AB与CD,不论延长多长,也不会相交,而这恰恰是欧几里得的平行线定义。证讫。

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  命题I.27打破了有关平行性的坚冰,但是,欧几里得依然避免应用平行线公设。这一争议很大的公设在欧几里得在命题I.29中证明I.27的逆命题时,终于出现了。

  因为AB是半圆ACB的直径,AC是半圆AEC的直径,所以,我们可以应用上述第三条原理,即得到
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  也就是说,半圆AEC的面积是半圆ACB面积的一半。

  命题I.29 一条直线与两条平行线相交,则内错角相等。

  我们现在来看扇形AFCO(“扇形”是圆的四分之一)。显然,这一扇形也是半圆ACB面积的一半,据此,我们可直接得出

  证明
这次,欧几里得假设AB与CD平行(见图2.11),并须证明∠1=∠2。他再次使用间接法,即,假设∠1≠∠2,然后引出逻辑上的矛盾。因为,如果这两个角不相等,那么,其中一个角必定大于另一个角,我们不妨假设∠1>∠2。根据命题I.13

  面积(半圆AEC)=面积(扇形AFCO)

  2个直角=∠1+∠BGH>∠2+∠BGH

  最后,我们只需从这两个图形中各自减去它们共同的部分AFCD,如图1.16所示,即

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  在此,欧几里得终于引用了公设5,这一公设恰恰适合于这种情况。由于∠2+∠BGH<2个直角,根据公设5,他可以断定,AB与CD必定相交于右侧,这显然是不可能的,因为已知这条直线是平行的。因此,根据反证法,欧几里得表明,∠1不能大于∠2;同样,∠2也不能大于∠1。总而言之,平行线的内错角相等。证讫。

  面积(半圆AEC)—面积(AFCD部分)

  根据这一证明,欧几里得很容易地便推断出同位角也相等,即,在图2.11中,∠EGB=∠2,因为∠EGB与∠1是对顶角。

  =面积(扇形AFCO)—面积(AFCD部分)

  在最终引用了平行线公设之后,欧几里得发现,实际上不可能打破以往的习惯。在第一篇余下的20个命题中,几乎没有一处再直接应用平行线公设或基于这一公设的命题,唯一的例外是命题I.31,在这一命题中,欧几里得演示了如何通过直线外一点作已知直线的平行线。但是,平行线公设当然是被嵌入了一个人人都在等待出现的定理之中:

  我们从图中可以很快看出,剩下的部分就是

  命题I.32 在任何三角形中……三个内角之和……等于两个直角。

  面积(新月形AECF)=面积(△ACO)

  证明
已知△ABC,如图2.12所示,他根据命题I.31,作CE平行于三角形的边AB,并延长BC到D。根据命题I.29(平行线公设的推论),他知道,∠1=∠4,因为它们是两条平行线的内错角;并且,还知道,∠2=∠5,因为它们是同位角。因此,△ABC三个内角的和就是∠1+∠2+∠3=∠4+∠5+∠3=2个直角,因为这些角构成了直线BCD。这样,这一著名的定理即证明完毕。
证讫。

  我们已知,我们可以作一个正方形,使其面积等于三角形ACO,因而也等于新月形AECF的面积。这就是我们所寻求的化新月形为方的问题。
证讫。

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  这的确是数学上的一大成就。评注家普罗克洛斯(公元410—485年)以他五世纪的眼光,认为希俄斯的希波克拉底“……作出了新月形的等面积正方形,并在几何学中做出过许多其他发现,是一位作图的天才,如果曾经有过这种天才的话。” 

  自此,欧几里得开始将注意力转向更复杂的问题。他接下来的几个命题提出了有关三角形和平行四边形的面积问题,其中最精彩的是命题I.41。

后记 

  命题I.41
如果一个平行四边形与三角形同底,且位于同两条平行线之间,则这个平行四边形的面积是三角形面积的两倍。 

  由于希波克拉底求新月形面积的成功,希腊数学家对求最完美的曲线图形——圆的面积充满了乐观。古希腊数学家为解决化圆为方问题付出了大量的时间和精力,一些后世作家认为希波克拉底自己曾尝试解决这一难题,尽管接二连三的评论、注释把事情弄得扑朔迷离,要确定这点很困难。五世纪的辛普利西乌斯在其著作中引述了他的前辈——阿弗罗狄西亚的亚历山大(约公元210年)的话说,希波克拉底曾声称他能够求出圆的面积。将这些蛛丝马迹连缀起来,我们推测亚历山大考虑的是这样一种论证:

  希腊人以此说法表示,如果一个三角形与任意平行四边形同底同高,则这个三角形的面积等于平行四边形面积的一半。由于这种平行四边形的面积与同底同高的矩形面积是一致的,而矩形的面积是(底)×(高),我们由此可以看到,在命题I.41中包含着一个现代公式,即,面积(三角冠亚体育娱乐 55 

  首先作任意圆,其直径为AB。以O为圆心作大圆,使其直径CD等于AB的两倍。利用已知方法,在大圆中作内接正六边形,即使六边形的每一条边都等于半径。也就是

  但是,欧几里得并未用这种代数语言思维。相反,他想象,△ABC确与平行四边形ABDE具有同一条边,且同位于两条平行线AB与DE之间,如图2.13所示。然后,欧几里得证明,面积(平行四边形ABDE)=2面积(△ABC)。

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  重要的是,我们应注意到,这六条边,每一条边都等于大圆的半径,冠亚体育娱乐 58
半圆,如图1.17所示。这样,就形成了六个新月形和一个以AB为直径的圆(见图中阴影部分)。

  间隔几个命题之后,欧几里得在命题I.46中演示了如何在已知线段上作正方形图形。当然,正方形是一种规则四边形,因为它的所有边和所有角全等。最初,人们可能会以为这一命题只是一个普通的命题,特别是他们会回忆起第一篇一开始就介绍了等边三角形这种规则三边形的作图。我们只要看一看他对正方形作图的证明就会明白,正方形作图何以延迟了这么长时间,因为对正方形作图的论证,很多要根据平行线的性质,而这当然只能等到关键的命题I.29之后。因此,虽然欧几里得在第一篇的一开始就介绍了规则三角形的作图,但他不得不等到接近第一篇的尾声时才作规则四边形的图形。

  然后,我们想象将右边的图形按两种方式分解:其一,看作是一个正六边形CEFDGH加上六个半圆;其二,看作一个大圆加六个新月形。显然,这两种方式所得出的总面积是相等的,因为都是从同一个图形中分解出来冠亚体育娱乐 59 

  第一篇除了证明这46个命题之外,还有最后两个命题需要证明。看来,欧几里得是将最好的留在了最后。在作好所有这些准备之后,他开始冲击毕达哥拉斯定理,这一定理显然是所有数学定理中最重要的定理之一。

  因此

  伟大的定理:毕达哥拉斯定理(勾股定理) 

  面积(正六边形)+3面积(以AB为直径的圆)

  众所周知,在欧几里得之前,毕达哥拉斯定理即已闻名遐迩,因此,欧几里得决不是这一数学里程碑的发现人。然而,我们下面看到的证明为他赢得了声誉,许多人都相信,这一证明最初是由欧几里得作出的。这个证明的美妙之处在于其先决条件的精练;毕竟,欧几里得为作出证明,只能依赖他的公设、公理和最初的46个命题,可谓捉襟见肘。我们不妨考虑一下他尚未涉及的几何论题:他以前唯一探讨过的四边形是平行四边形;对于圆,基本上尚未探索;而对于特别重要的相似性,则直到第六篇才开始阐述。虽然可以确信,如果应用相似三角形,可以对毕达哥拉斯定理作出非常简短的证明,但是,欧几里得不愿把这一重要命题的证明推迟到第六篇以后进行。显然,他希望尽可能早地直接涉及毕达哥拉斯定理,因此,他创立了一个证明,并以此作为《原本》的第47个命题。从这个命题中,我们可以看到,在此之前的许多命题都指向了伟大的毕达哥拉斯定理,因此,我们可以说第47命题堪称第一篇的高潮。

  =面积(大圆)+面积(6个新月形)

  在我们详细介绍欧几里得的证明之前,我们不妨先来看一看用欧几里得语言阐述的这个命题,从中可以窥见其论证方法之巧妙。

  由于大圆的直径等于小圆的两倍,因而,大圆的面积必定等于小圆面积的22=4倍。即

  命题I.47
在直角三角形中,斜边上的正方形面积等于两个直角边上的正方形面积之和。

  面积(正六边形)+3面积(以AB为直径的圆)

  请注意,欧几里得的命题不是关于代数方程式a2=b2+c2,而是述及了一种几何现象,涉及到以直角三角形的三条边为边所作的实在的正方形。欧几里得必须证明,以AB和AC为边的两个小正方形面积之和等于以斜边BC为边的大正方形面积(见图2.14)。为证明这一点,他采用了一个非常奇妙的方法,从直角顶点开始作线段AL,使之与大正方形的边平行,并将大正方形分割为两个矩形。现在,欧几里得只要证明左边矩形(即以B和L为对角的矩形)的面积等于以AB为边的正方形面积;同样,右边矩形的面积等于以AC为边的正方形面积即可。由此可直接导出,两个矩形面积之和等于大正方形面积,同样也就等于两个小正方形面积之和。

  =4面积(以AB为直径的圆)+面积(6个新月形)

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  从等式两边分别减去“3面积(以AB为直径的圆)”,我们就得到面积(正六边形)=面积(以AB为直径的圆)+面积(6个新月形)

  这一普通方法非常巧妙,但还需要补充一些细节。幸好,欧几里得在他的早期命题中已完成了全部准备工作,因此,现在的问题是如何将它们谨慎地组合起来。

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  证明
根据假设,欧几里得已知∠BAC是直角。他应用命题I.46,在三条边上作正方形,并应用命题I.31,过A点作AL平行于BD,然后,连接AD与FC。初看起来,这些辅助线似乎显得很神秘,但它们很快就会变得浅显易懂了。

  或

  对于欧几里得来说,关键的问题是要证明CA与AG在同一条直线上。欧几里得指明,根据正方形作图,∠GAB为直角,而根据假设,∠BAC也是直角。由于这两个角的和等于两个直角,命题I.14保证了GAC是一条直线。有趣的是,在这一显然只涉及到很少的技术性问题的证明中,欧几里得唯一一次应用了∠BAC是直角这一事实。

  面积(以AB为直径的圆)=面积(正六边形)—面积(6个新月形)

  现在,欧几里得开始将目光转向两个细长的三角形ABD和FBC。这两个三角形的短边(分别为AB和FB)相等,因为它们是一个正方形的两条边;同理,两个三角形的长边(BD和BC)也相等。那么,它们的对应夹角是否相等呢?由于∠ABD是∠ABC与正方形直角∠CBD之和,而∠FBC是∠ABC与正方形直角∠FBA之和。公设4规定,所有直角都相等。公理2则保证了等量之和相等。因此,∠ABD=∠FBC。根据“边角边”定理(即命题I.4),欧几里得证明狭长三角形ABD与FBC全等;因此,这两个三角形的面积相等。

  据亚历山大所说,希波克拉底作了如下推论:正六边形作为多边形,可以用等价平方表示;根据前边论证,每一个新月形也同样可以用等价平方表示。利用加法,我们可以作出一个面积等于六个新月形面积之和的正方形。因此,以AB为直径的圆的面积可以按照我们前面所列等式,用简单的减法即可得到。

  到目前为止,一切顺利。接着,欧几里得指明,△ABD与矩形BDLM具有同一条边BD,并且,位于同两条平行线(BD与AL)之间。因此,根据命题I.41,BDLM的面积等于△ABD面积的2倍。同样,△FBC与正方形ABFG也具有同一条边BF。并且,欧几里得已证明GAC是一条直线,因此,△FBC与正方形ABFG也同位于平行线BF与GC之间;根据命题I.41,正方形ABFG的面积也等于△FBC面积的2倍。

  但是,正如亚历山大随即指出的那样,这一论证有一个明显的缺点:希波克拉底在这一定理中求其面积的新月形不是沿着内接正六边形的边长作的,而是沿着内接正方形的边长作的。也就是说,希波克拉底从来没有提出过求本例这种新月形面积的方法。

  欧几里得综合这些结果和先前证明的三角形全等,得出:

  大多数现代学者都怀疑像希波克拉底这样水平的数学家会犯这种错误。相反,很可能是亚历山大,或辛普利西乌斯,或任何其他转述者在介绍希波克拉底最初的论证时,在某种意义上曲解了他的原意。我们也许永远不会知道全部真相。然而,这种推理方法似乎也支持了一种看法,即化圆为方应该是可能的。如果说上述论证没有完成此事,那么,只要再付出一点儿努力,再多一点儿洞察力,也许就可以成功了。

  面积(矩形BDLM)=2面积(△ABD)
          =2面积(△FBC)
          =面积(正方形ABFG)

  但是,情况却并非如此。一代又一代的人经过数百年的努力,始终未能化圆为方。历经种种曲折,人们提出了无数的解法,但最后发现,每一种解法都有错误。逐渐地,数学家们开始怀疑,也许根本不可能用圆规和直尺作出圆的等面积正方形。当然,缺乏一种正确的证明方法,即使经过了2000年的努力,也依然不表明化圆为方是不可能的;也许,数学家只是不够聪明,还没有找到一条穿越几何丛林的道路。此外,如果化圆为方不可能的话,就必须借助其他逻辑严密的定理来证明这一事实,而人们亦不清楚如何作出类似证明。

  至此,欧几里得完成了一半使命。下一步,他需证明矩形CELM的面积等于正方形ACKH的面积。对此,他可以用同样的方法证明。首先,连接AE与BK,然后,证明BAH是一条直线,并根据“边角边”定理,证明△ACE与△BCK全等。最后,引用命题

  应当指出一点,没有人会怀疑,已知一个圆,必然存在着一个与之面积相等的正方形。例如,已知一个固定的圆和圆旁一个正方形投影小光点,并且,正方形投影的面积大大小于圆的面积。如果我们连续移动投影仪,使之距离投影屏面越来越远,并以此逐渐扩大正方形投影的面积,这样,我们最终会得到一个面积超过圆面积的正方形。根据“逐渐扩大”的直观概念,我们可以得出正确结论,在过程中的某一瞬间,正方形面积恰好等于圆形面积。

  I.41,欧几里得推论:

  但是,这毕竟有点儿离题。不要忘记,关键的问题不是是否存在这样一个正方形,而是是否可以用圆规和直尺作出这个正方形。这就出现了困难,因为几何学家只限于使用这两种特定工具;而移动投影光点显然违反这一规则。

  面积(矩形CELM)=2面积(△ACE)
          =2面积(△BCK)
          =面积(正方形ACKH)

  从希波克拉底时代直到一百多年前,化圆为方问题始终未能解决。终于,1882年,德国数学家费迪南德·林德曼(1852—1939年)成功而明确地证明了化圆为方是根本不可能的。其证明的技术性细节非常高深,远远超出了本书的范围。但是,从下面的概要中,我们仍然可以看到林德曼是如何解答这一古老问题的。

  至此,毕达哥拉斯定理呼之欲出,因为:
  面积(正方形BCED)
  =面积(矩形BDLM)+面积(矩形CELM)
  =面积(正方形ABFG)+面积(正方形ACKH)。证讫。

  林德曼解决这一难题的方法是将问题从几何王国转向数字王国。只要我们想象所有实数的集合(如图1.18中大长方形所包括的范围),我们就能够将它们再划分为两个穷举且相互排斥的类型——代数数和超越数。

  至此,欧几里得完成了数学中最重要的证明之一,而他所应用的图形(图2.14)也因此成为了非常著名的图形。人们常常称欧几里得的图形为“风车”,因为它的外形看起来很像风车。从附图中我们可以看到1566年版《原本》所刊载的“风车”图形,图中的文字为拉丁文。显然,400多年前的学生便已开始研究这一图形,犹如我们刚才所做的那样。

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  当然,欧几里得的证明并不是证明毕达哥拉斯定理的唯一方法。实际上,证明方法有数百种之多,有的非常巧妙,有的极其平庸。(其中包括俄亥俄州众议员詹姆斯·加菲尔德的证明,他后来成为美国总统。)读者如果对其他证明方法感兴趣,可以参考E.S.卢米斯所著《毕达哥拉斯命题》一书,其中收录了对这一著名定理的千百种证明方法,令人眼花缭乱。

  根据定义,如果一个实数满足下述代数方程

  虽然命题I.47标志了第一篇的高潮,但欧几里得还有最后一个命题要证明,这就是毕达哥拉斯定理的逆定理。欧几里得对这一逆定理的证明,其巧妙和精练,依然是显而易见的。但遗憾的是,这一证明本该同样著名,却始终湮没不彰。实际上,大多数学生在其一生中,总会在某一时刻见到过对毕达哥拉斯定理的证明,但是见过对其逆定理证明的人就少得多,即使见到,也不敢肯定其正确性。

冠亚体育娱乐,  an xn + an-1 xn-1+……+
a2x2 + a1x + a0=0

  欧几里得对这一逆定理的证明有两个特点值得我们特别注意。其一是它非常短,将其与我们刚看到的论证相比,则尤其如此。其二是欧几里得在证明这一逆定理时,应用了毕达哥拉斯定理。这种逻辑方法虽然并非没有前例,但至少值得注意。让我们回想一下,欧几里得在证明有关平行线的两个重要命题(命题Ⅰ.27及其逆命题Ⅰ.29)时,并没有用其中一个命题去证明另一个命题。但是,他对毕达哥拉斯逆定理的证明,却将命题Ⅰ.48牢固地建立在命题Ⅰ.47的基础之上,使这两个命题成为一个明确的序列单位。

  那么,这个实数是代数数。方程中所有系数,an,an-1,……,a2
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中,每一个多项式的系数都是整数。

  命题Ⅰ.48
在一个三角形中,如果一边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和,则这两边的夹角是直角。

  用不太正规的话说,我们可以认为,代数数是我们在算术和初等代数中遇到的“容易”或“熟悉”的量。例如,所有整数都是代数数,所有分数,及其平方根、立方根等,也都是代数数。

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所示。他必须证明∠BAC是直角。

  相反,如果一个数不是代数数,那么,就必然是超越数——也就是说,这个数不是任何带有整数系数的代数方程的解。超越数与其比较简单的代数数亲族相比,要复杂得多。根据定义,显然,任何实数不是代数数,就是超越数,但不可能两者兼之。这就是严格的二分法,犹如一个人不是男的,就是女的,决没有中性可言。

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  下面,我们将先讨论单位长度(即代表数字“1”的长度),并以此为基础,进一步讨论我们能够用直尺和圆规作出的其他长度。情况表明,所有可构造线段长度的总和,虽然庞大,但却不可能包括每一个实数。例如,从长度1开始,我们可以作出长度2、3、4,等等,也能作出有理冠亚体育娱乐 66
长度的和、差、积和商。把所有这些作图集合在一起,我们可以看到,更加复杂的表达式,如

  为此,欧几里得首先根据命题Ⅰ.11,作AE垂直于AC,并交AC于A。
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明三角形BAC与DAC全等。

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确定的),但根据垂线作图,我们知道∠DAC是直角。因此,欧几里得完全有理由应用毕达哥拉斯定理于直角三角形DAC,并根据假设,推导出

  就是实际的可构造长度。

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  这些大量的可构造数就构成了代数数的子集,就像所有秃头男人的集合构成了所有男人的子集一样。如图1.18所示,这些可构造数严格隶属于代数数。重要的问题是,没有一个超越数能够用圆规和直尺作出。(如果把我们的比喻再扩大一步,那么,这后一句话的意思就是,没有一个女人会隶属于秃头男人之列。)

  冠亚体育娱乐 71边边”定理,△DAC与△BAC全等。因而,∠BAC与∠DAC也必然全等。而根据作图,后者为直角,所以,∠BAC也是直角。证讫。

  在林德曼开始着手研究化圆为方的问题时,所有这些知识都已为人所知。在其前辈、特别是在法国卓越数学家夏尔·埃尔米特(1822—1901年)努力的基础上,林德曼攻克了著名的数字π。(在初等几何中,我们见到的π是作为圆的周长与直径的比;我们在第四章中将详尽论述这一重要的常数。)林德曼的成就是证明了π是超越数。也就是说,π不是代数冠亚体育娱乐 72
的图形。

  命题Ⅰ.47和Ⅰ.48相得益彰,揭示了直角三角形的全部特征。欧几里得表明,一个三角形,如果也只有当其斜边的平方等于两条侧边的平方和时,这个三角形才是直角三角形。这些证明过去是,现在依然是最佳几何例证。

  乍看之下,这一数字上的发现对于化圆为方的几何问题似乎没有多大关系,但是,我们将看到,这一发现为这一古老难题补上了缺失的一环。 

  这两个毕达哥拉斯命题在另一种意义上也是卓越非凡的。欧几里得以一种巧妙的方式证明这两个命题是一回事,而这两个命题是正确的则是另一回事。对于直角三角形与平方和的密切关系,没有直觉的推论。例如,它不像命题Ⅰ.20那样,是一种甚至连驴子都能懂得的不证自明的真理。相反,毕达哥拉斯定理证明了一个非常奇特的事实,其奇特性之所以不被认识,仅仅是因为其结果太著名了。理查德·特鲁多在他的《非欧几里得革命》一书中精彩地描述了毕达哥拉斯定理这种固有的奇特。特鲁多注意到,直角是一种人人都熟悉的日常存在,它不仅存在于人为世界,而且也存在于自然界本身。还有什么能比直角更“普通”或更“自然”的呢?但特鲁多又说:

  定理 化圆为方是不可能的

  “毕达哥拉斯定理使我感到非常惊奇……‘a2=b2+c2’……无论如何引不起我本能的记忆……因为这个方程抽象,精确,异乎寻常。我想象不出这样一种东西与日常生活中所见的直角有什么关系。因此,当偶然揭开‘熟悉’的帘幕,重新审视毕达哥拉斯定理,我不禁感到目瞪口呆。” 

  证明
为了形成最后的予盾,让我们先假设圆能够化为方。我们可以很容易地用圆规作一个圆,使半径r=1。因此,这个圆的面积就是πr2=π。如果按照我们的假设,圆能够化为方,于是,我们便非常兴奋地用圆规和直尺猛砍圆弧,并画上直线。我们只需经过这样有限的几次,最后就终于得到了一个面积也是π的正方形,如图1.19所示。在这一过程中,我们构造了正方形,当然也就构造了它的四条边。我们设正方形的边长为x。于是,我们看到

后记

  π=圆面积=正方形面积=x2

  纵观历史,《原本》第一篇基础中最令人困惑的是引起争议的平行线公设。困惑的产生并非因为有人怀疑平行线公设的真理性,相反,人们普遍认为这个公设是逻辑的必然。几何毕竟是一种抽象描述世界的方式,是一种“物理的抽象”,而物理现实又确实决定了平行线公设的真理性。

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  因此,受到质疑的不是欧几里得的陈述,而是他将其列为公设。古代作家普罗克洛斯一言以蔽之,“它(公设5)完全应从公设中剔除,因为它是一条定理……”

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  对平行线公设的这种认识并不奇怪。首先,可能确实使古代几何学家感到迷惑的是,这一公设看起来的确十分像一条命题,因为它的陈述性语句就占了大半段。加之,欧几里得似乎不仅尽可能避免应用这一条公设,而且在证明一些相当深奥微妙的结论时,也尽可能设法绕过它。“如果说他的其他公设和公理的内容都非常丰富,足以产生诸如命题Ⅰ.16或Ⅰ.27这样的定理或四种全等格式的话,那么,它们当然也应该同样包容平行线公设的含义。”

  究竟错在哪里了呢?我们再回头看一看整个论证过程,以找出产生这一矛盾的原因。我们发现,问题只能出在最初的假设上,也就是圆能够化为方的假设,结果,我们必须否定这个假设,并据此得出结论,化圆为方在逻辑上是根本不可能的!证讫。

  出于似乎非常充分的理由,数学家们开始寻求公设5的推导根据。他们在寻求这一证明的过程中,可以自由地应用除公设5以外的任何其他公设或公理,以及欧几里得从Ⅰ.1到Ⅰ.28的全部命题。无数数学家都曾为此做出过不懈的努力,但非常遗憾的是,他们几年、几十年,甚至几百年的努力都失败了。这一证明至今依然是一个难解的谜。

  林德曼的发现表明,从希波克拉底时代直到现代数学家对化圆为方这一难题的刻意探索,实际上是徒劳的。从化新月形为方开始,所有有启发性的证明,所有有希望的线索,到头来都成了虚幻镜影。只使用圆规和直尺是不足以化圆为方的。

  几何学家在这一过程中,只发现了许多在逻辑上等同于平行线公设的新的命题。为证明公设5,常常需要数学家们去假设一种看来很明显,但迄今为止尚未得到证明的命题。然而,遗憾的是,为引出这样一个命题,平行线公设本身又是必不可少的,而问题就在这里。对于逻辑学家来说,这表明,两者实际都在表达同一个概念,而对公设5的“证明”,如果要求假设它的逻辑等价命题,自然就什么也没有证明。

  那么,历史对新月形求方又作如何评价呢?上述伟大定理表明,希波克拉底成功地作出了一种特定新月形的等面积正方形,并努力探求另外两种新月形的求方。因而,到公元前440年时,三种类型的新月形化方,已为众人所知。但从此便停滞在这一水平,两千多年没有进展。直到1771年,伟大的数学家莱昂哈德·欧拉(1707—1783年)(我们将在第九章和第十章中详细介绍)才发现了另外两种可以用等价平方表示的新月形。此后,直到20世纪,N.G.切巴托鲁和A.W.多罗德诺才证明出这五种新月形是唯一可用等价平方表示的新月形!所有其它类型的新月形,包括我们前面讲到的曾引起亚历山大尖锐批评的那种新月形,都像圆形一样,不可能化为等价正方形。

  比较著名的四个平行线公设等价命题记叙如下。应该指出的是,假如可以根据公设1至4证明下述任何一项,则公设5便是顺理成章的了。

  因此,希波克拉底及其新月形的故事便就此划上了句号,而且,这是一个相当曲折反复的故事。起初,直觉认为,不可能用圆规和直尺作出曲线图形的等价正方形。但是,希波克拉底通过新月形求方将直觉颠倒过来,并继续寻求更多可用等价平方表示的曲线图形。然而,最后,林德曼、切巴托鲁和多罗德诺的否定结论表明,直觉并非一无是处。曲线图形的求方远非规范,而必定永远只是例外。

  ■
普罗克洛斯公理:如果一条直线与两条平行线中的一条相交,也必定与另一条平行线相交。
  ■ 等距公设:两条平行线之间距离处处相等。
  ■普莱费尔公设:经过已知直线外一点,可以作一条,而且只能作一条与已知直线平行的直线。
  ■ 三角形公设:三角形三个内角和等于两个直角。

  尽管文艺复兴时期产生了这四个逻辑等价命题,但却依然未能解决平行线公设的性质问题。无论谁推导出平行线公设证明,都会在数学史上享有永久的声望。有时,这一证明似乎已近在咫尺,唾手可得,但世界最优秀数学家的努力却一次又一次落空。

  19世纪初叶,有三个数学家几乎同时爆发灵感,发现了解决这一难题的真正曙光。第一位数学家就是举世无双的卡尔·弗里德里希·高斯(1777—1855年),有关他的生平,我们将在第十章中介绍。高斯立足对三角形角度的测量,重新设计了这个问题。为了证明三角形的内角和必定等于180°,他先假设三角形内角和不等于180°。这样,就使他面临两种选择:三角形内角和或者大于180°,或者小于180°。他进而研究了这两种情况。

  高斯依据直线是无限长的事实(欧几里得也同样含蓄地提出过这样的假设,对此,没有人提出异议)发现,如果三角形的内角和大于180°会导致逻辑矛盾。因此,这种情况显然应予排除。如果他能够同样排除另一种情况,他就可以间接地证明平行线公设的必然性。

  高斯首先假设三角形的三个内角和小于180°,然后便开始进行推理。但推理的结果非常奇怪,似乎有点儿不可理解和违背直觉(一种瞬间出现的现象)。但是,高斯却怎么也找不到他所寻求的逻辑矛盾。1824年,他总结这种情况说:

  “……一个三角形的内角和不能小于180°……这是……一块暗礁,所有的船只都会在它面前撞得粉碎。”

  随着高斯对这一特殊几何问题越来越深入的探讨,他逐渐相信这其中不存在逻辑矛盾。相反,他开始感觉到,他所发展的不是一种不相容的几何学,而是一种选择几何学,用他的话说,是一种“非欧几里得”几何学。高斯在他1824年的一封私人信件中详细阐述了他的观点:

  “三角形三个内角和小于180°的假设导致了一种非常古怪的几何学,与我们现在的几何学不同,但又完全讲得通,对此,我感到非常满意。”

  这是一段激动人心的话。高斯虽然被公认为是当时最优秀的数学家,但却没有公布他的发现。也许是为声名所累,因为他深信,对他见解的争议可能会损害他的崇高名望。1829年,高斯在写给他一位知己的信中说,他没有打算:

  “……把我的深入研究公诸于众,也许终生都不会公布,因为我惧怕在我大声讲出我的观点之后,会引起维奥蒂亚人的鼓噪。”

  今天的读者可能不明白维奥蒂亚人是何方神圣,对此,我们只需稍加解释,所谓的“维奥蒂亚人”是指那些缺乏想象力而又不开化的愚钝之人。显然,高斯忽略了数学界对他新观点的接受能力。

  接下来是匈牙利数学家约翰·鲍耶(1802—1860年)。约翰的父亲沃尔夫冈曾是高斯的密友,而且,他自己也曾为证明欧几里得的平行线公设空付出大半生的心血。当时的年代,儿子常常继承父亲的事业,成为牧师、皮匠或厨师……,而小鲍耶则继承了他父亲推导欧几里得平行线公设的深奥事业。但沃尔夫冈深知个中的难处,对他的儿子提出了强烈的警告:

  “你不能再去论证平行线公设。我深知这条路会带来什么结果。我曾力图穿越这无尽的黑夜,并因此葬送了我生活的全部光明与欢乐……我恳求你,不要再去管平行线公设。”

  但是,年轻的约翰·鲍耶并未理会父亲的忠告。像高斯一样,约翰也逐渐认识到了有关三角形内角和的关键性的三分法,并试图排除与平行线公设不符的所有情况。当然,同高斯一样,他也没有成功。随着鲍耶对这一问题越来越深入的研究,他同样得出结论,认为欧几里得几何在逻辑上遇到了强有力的对手,他十分惊讶地就他独待而显然论据确凿的命题写道,“从空无中,我创造了一个奇怪的新世界。”

  约翰·鲍耶不像高斯,他毫不犹豫地公布了自己的发现,他将自己的论文作为附录载于他父亲1832年的著作之中。老鲍耶兴高采烈地将自己的著作给他的朋友高斯寄去一本,但高斯的回信却使鲍耶父子十分意外:

  “如果坦言我不敢夸奖(令郎的)大作,你必然会感到吃惊:但是我别无选择;夸奖令郎就等于夸奖我自己;因为书中全部内容,他的思路,以及他所推导的结果,都与我自己的发现几乎同出一辙,这些发现在我脑子里已经存在了30至35年之久。”

  显然,高斯给他年青的崇拜者泼了一瓢冷水。值得称道的是,高斯非常谦和地讲到他自己“……非常高兴,恰恰是老友的儿子以这种非凡的方式超过自己”。但是,约翰得知他最伟大的发现已经躺在高斯的抽屉里几十年了,这对他的自尊心,当然是一个沉重的打击。

  然而,约翰的自尊心还要再经受一次打击,因为人们不久便得知,俄国数学家尼古拉·罗巴切夫斯基(1793—1856年)不仅与高斯和鲍耶作了同样的工作,而且,于1829年就发表了他关于非欧几何的论文——比约翰早了整整三年。但罗巴切夫斯基的论文是用俄文写的,显然无声无息地传到了西欧。这种现象在科学界并不奇怪,一个发现有时会有许多人同时独立作出。沃尔夫冈·鲍耶讲得好:

  “……的确,许多事物似乎都自有其时令,会在多处同时显现,犹如紫罗兰在春季到处开放。”

  但是,这些发现还不能算是切中要害,另一位创新家乔治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼(1826—1866年)对几何直线的无限长度别有一种见解。正是这种几何直线的无限性才使高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基得以排除三角形内角和大于180°的情况。但是,是否确有必要假设这种无限性呢?欧几里得的公设2称,有限直线可沿直线无限延长,但这难道不是在说,人们永远也达不到直线的尽头吗?黎曼完全可以想象,这些直线有几分像圆,长度是有限的,但却没有“尽头”。他说:

  “……我们必须区别无界与无限延长的概念……,空间的无界具有一种比外部感受更强的经验确实性。但无限延长绝不是从这个意义上推导出来的。”

  黎曼根据直线无界但长度有限的假设,重新检讨几何学,则三角形内角和大于180°时所产生的逻辑矛盾消失了。结果,他发展了另一种非欧几何,在这种几何中,三角形的内角和大于两个直角。黎曼的几何学虽然与欧几里得和鲍耶的几何不同,但却显然同样严谨。

  今天,我们承认所有这四位数学家为非欧几里得几何的创始人。他们理应享受先驱者的同等荣耀。但是,他们的发现也没有完全解决平行线公设的根本问题。因为,虽然他们把几何发展到了新的高度,但是,能够支持他们的新几何学与欧几里得几何并驾齐驱的,仅仅是一种知其然而不知所以然的直觉感受,并非白纸黑字的逻辑推理。尽管高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基和黎曼的发现都有很强的说服力,但在将来的某一刻,仍有可能会出现一位天才数学家,从他们关于三角形内角和小于或大于180°的假设中找出矛盾。

  因而,这个古老故事的最后一章由意大利的欧金尼奥·奥尔特拉米(1835—1900年)在1868年写完。他清晰地证明了非欧几何与欧几里得几何同样具有逻辑上的一致性。奥尔特拉米表明,如果说在高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基或者黎曼的几何中,可能存有某种逻辑矛盾的话,那么,在欧几里得几何中也同样存在这种矛盾。既然人人都认为欧几里得几何逻辑严谨一致,因此可以断言,非欧几里得几何也同样无懈可击。换言之,非欧几何在逻辑上并不比先者——欧几里得几何低下。

  为了理解高斯/鲍耶/罗巴切夫斯基派非欧几何(即三角形内角和小于180°的那种几何)的某些古怪论点,我们不妨看一看非欧几何对某些命题的证明。首先,让我们从另一个角度看一看三角形全等问题。当然,欧几里得的全等定理是在他初次应用公设5之前确立的,并在非欧几何中依然有效,因为这些全等定理的证明只需应用欧几里得的其他公设和公理,而无需参考其他任何东西。但在鲍耶几何中,令人感到惊奇的发展是,还有另外一种表示全等的途径,即“角角角”。

  在欧几里得几何中,我们知道,如果两个三角形的三个角分别相等,则这两个三角形相似。也就是说,它们形状相同,但无须全等。例如,一个小等边三角形和一个大等边三角形,尽管三个角都完全相等,但却是不全等图形。然而,我们下面将要讲到的非欧定理却表明,在非欧几何这个奇怪的世界里,这种情况却是不可能的。如果鲍耶的两个三角形形状相等,其面积也必定相等!

  定理(角角角)如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等,则这两个三角形全等。

  证明
如图2.16所示,在三角形ABC和DEF中,假设∠1=∠4,∠2=∠5,∠3=∠6。我们断言,边长AB与DE必定相等。为证明这一点,我们先假设这两条边长度不等,以造成最后的逻辑矛盾,为了不失却一般冠亚体育娱乐 75

  
冠亚体育娱乐 76“角边角”定理,△ABC与△DGH全等,因此,∠DGH=∠2=∠5,同理,∠DHG=∠3=∠6。

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  现在,我们来看四边形EFHG。由于DGE和DHF是直线,根据命题Ⅰ.13,我们得知,∠EGH=(180°-∠DGH)=(180°-∠5),∠FHG=(180°-∠DHG)=(180°-∠6)。因此,四边形EFHG四个角的和等于

  (180°-∠5)+(180°-∠6)+∠6+∠5=360°

  现在,我们作四边形EFHG的对角线GF,将四边形分为两个三角形。根据非欧几何的基本性质,这两个三角形,每个三角形的内角和都小于180°;因此,两个三角形所有角的和必定小于360°。而这两个三角形所有角的和恰恰就是四边形EFHG四个角的和。我们刚才已推导出,四边形EFHG的四角和等于360°。

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“角边角”定理,即根据命题Ⅰ.26,可以直接推导出原来的两个三角形ABC与DEF全等——而这正是我们所要证明的定理。
证讫。

  从这一命题中,可以很容易地得出一个令人吃惊的推论:在非欧几何中,并非所有三角形的内角和都相等!欧几里得几何中这一最基本的性质(突出表现在许多几何推理中),在我们步入非欧几何领域时,却必须予以抛弃。因为假设有两个三角形,如图2.17所示,每个三角形的底角都是α和β,但是,AB边显然小于DE边。因此,我们断言,∠1不能等于∠2。因为如果它们相等,根据我们刚才证明的“角角角”全等定理,则这冠亚体育娱乐 79我们看,一个三角形的内角和(∠1+α+β)不等于另一个三角形的内角和(∠2+α+β)。总之,在非欧几何中,已知三角形的两个角,还不足以确定第三个角。从这一命题和许多其他类似命题中可以看出,为什么鲍耶说他创造了一个“奇怪的新世界”,以及为什么有那么多人在非欧几何刚刚露出地平线的时候就认为,非欧几何必然要出现逻辑矛盾。但是,正如我们刚才所证明的那样,他们全都错了。

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  那么,这些19世纪的发现者们究竟要将欧几里得置于何地呢?一方面,欧几里得几何作为对空间的唯一逻辑上一致的描述的地位不复存在。实际上,每个人都会感到非常吃惊的是,非欧几何证明了平行线公设不是逻辑所训示的。欧几里得假设了这一条公设,但在数学上却没有这种必然性。存在对立的几何,而且同样正确。

  但另一方面,欧几里得的声誉得到了加强,而不是损毁。因为他没有像许多追随者那样落入陷阱,用其他不证自明的真理去证明平行线公设,我们现在知道,这种证明是注定要失败的。相反,他把他的假设理所应当地列为公设。欧几里得当然不可能知道两千年后会发现另一种几何学。但是,他凭着数学家的直觉,一定知道平行线的这一特性是一种个别的和独立的概念,它需要自己的公设,不论多么罗嗦和复杂。两千二百年后,数学家们证明了欧几里得始终是正确的。

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